Cát tuyến là gì? Đặc điểm, tính chất, cách vẽ đường cát tuyến

Cát tuyến là gì? Đặc điểm, tính chất, cách vẽ đường cát tuyến
Click to rate this post!
[Total: 0 Average: 0]

Cát tuyến là một kiến thức trong môn hình học tại lớp 9. Vậy cát tuyến là gì? Nó có đặc điểm, tính chất, cách vẽ như nào? Cùng chúng tôi tìm hiểu chi tiết về cát tuyến qua những chia sẻ ngay sau đây nhé.

Cát tuyến là gì?

Cát tuyến là kiến thức trong môn hình học lớp 9. Để hiểu rõ cát tuyến là gì thì chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về cát tuyến thông qua cách chiết tự từ. Cát tuyến là một từ Hán Việt, trong đó từ “cát” có nghĩa là cắt, còn từ “tuyến” là đường thẳng. Cát tuyến có nghĩa là đường thẳng cắt ngang qua một bề mặt khác như đường thẳng, đường cong, đường tròn,…

Cát tuyến là gì?
Cát tuyến là gì?

Định nghĩa cát tuyến trong sách giáo khoa toán thì cát tuyến chính là một đường thẳng cắt một đường khác ở hai điểm phân biệt. Cát tuyến của đường tròn chính là đường thẳng cắt đường tròn đó ở 2 điểm phân biệt bất kỳ. Tức là giao điểm giữa cát tuyến và đường tròn chính là hai điểm thuộc đường tròn đó.

Trường hợp đặc biệt của cát tuyến là khi đường cát tuyến đi qua tâm của đường tròn. Khi ấy cát tuyến của đường tròn trùng với đường kính đường tròn đó.

Ví dụ: Theo như trong hình chúng ta có một số đường cát tuyến như sau:

Hình vẽ minh họa cho cát tuyến
Hình vẽ minh họa cho cát tuyến
  • AB; CD; AC; BD là cát tuyến của đường tròn tâm O.
  • AB là cát tuyến của hai đường thẳng MA và MC
  • AB là cát tuyến của hai đường thẳng CM và CA

Đặc điểm, tính chất của đường cát tuyến

Đường cát tuyến chính là đường thẳng cắt một đường khác (có thể là đường thẳng, đường tròn, đường cong,…) ở hai điểm phân biệt. Tham khảo hình vẽ để thấy rõ được các tính chất của đường cát tuyến:

Hình vẽ minh họa cho tính chất của cát tuyến
Hình vẽ minh họa cho tính chất của cát tuyến
  • Nếu hai đường thẳng có chứa các cung của một đường tròn cùng cắt nhau tại một điểm thì tích của các đoạn của mỗi cung bằng nhau. Ví dụ: Trong trường hợp 2 đường thẳng chứa cung AB và CD của đường tròn tâm O cắt nhau ở điểm M thì ta sẽ có biểu thức: MA.MB = MC.MD
  • Nếu hai đường thẳng cắt nhau ở một điểm và tích của các đoạn của mỗi đường bằng nhau thì bốn điểm này sẽ thuộc cùng một đường tròn. Ví dụ: Nếu 2 đường thẳng AB và đường thẳng CD cắt nhau tại điểm M thỏa mãn được điều kiện MA.MB = MC.MD thì 4 điểm A, B, C, D sẽ cùng nằm ở trên một đường tròn.
  • Nếu như một đường thẳng là tiếp tuyến và một đường thẳng là cát tuyến của một đường tròn thì bình phương tiếp tuyến sẽ bằng tích hai đoạn của cát tuyến. Ví dụ: Nếu MC chính là đường tiếp tuyến của đường tròn tâm O và AMB là đường cát tuyến thì ta sẽ có biểu thức sau đây: MC2 = MA x MB = MO2 – R2.
  • Nếu từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và kẻ một cát tuyến thì trung điểm của đường cát tuyến thuộc trung trực của hai tiếp điểm. Ví dụ: Kẻ lần lượt hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O là KA, KB và cát tuyến KCD từ điểm K nằm ngoài đường tròn. Điểm H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, H, A, B, O cùng nằm ở trên 1 trung điểm.
  • Nếu từ một điểm ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một đường cát tuyến thì tỉ số các đoạn của cát tuyến sẽ bằng tỉ số các tiếp tuyến. Ví dụ: Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và đường cát tuyến KCD tới đường tròn từ điểm K không thuộc đường tròn thì ta có AC/AD = BC/BD. Ta cũng có góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.

Ứng dụng của đường cát tuyến

Sau khi đã biết đường cát tuyến là gì thì chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các ứng dụng của đường cát tuyến. Đường cát tuyến có một số ứng dụng cụ thể như sau:

  • Đường cát tuyến cho phép tính chiều cao của một ngọn núi khi bạn biết góc nhìn từ hai điểm cách nhau ở một khoảng xác định.
  • Tính bán kính của một đường tròn khi biết được hai cát tuyến của nó và khoảng cách giữa hai giao điểm của cát tuyến với đường tròn.
  • Tính được diện tích của một tứ giác nội tiếp ở trong một đường tròn khi biết được các cạnh của nó cùng các góc tạo bởi các cát tuyến của chúng.
  • Tính được chiều dài của một cung tròn khi đã biết hai tiếp tuyến và một đường cát tuyến của nó.

Cách vẽ đường cát tuyến

Cách vẽ đường cát tuyến là yêu cầu cơ bản ở trong bài toán liên quan đến đường cát tuyến. Tùy là cát tuyến của đường thẳng hay đường cong, đường tròn mà chúng ta có thể tiến hành như sau:

Vẽ đường cát tuyến cho đường thẳng

Vẽ đường cát tuyến của hai đường thẳng
Vẽ đường cát tuyến của hai đường thẳng

Để vẽ được đường cát tuyến cho đường thẳng thì bạn có thể thực hiện theo 2 bước cơ bản:

Bước 1: Đầu tiên chúng ta cần kẻ hai đường thẳng khác nhau. Sau đó xác định chính xác 2 điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đó.

Bước 2: Dùng thước kẻ để kẻ một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Như vậy là chúng ta đã có được đường cát tuyến của hai đường thẳng rồi.

Vẽ đường cát tuyến cho đường cong, đường tròn

Để vẽ đường cát tuyến cho đường tròn thì bạn thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Đầu tiên chúng ta cần vẽ một đường tròn hoặc một đường cong. Sau đó hãy xác định hai điểm bất kì thuộc đường tròn, cung tròn, đường cong. Lưu ý đối với đường tròn, nếu như không có yêu cầu đặc biệt thì bạn không nên lựa chọn hai điểm nằm ở trên đường kính của đường tròn đó.

Bước 2: Vẽ một đường thẳng bằng việc nối hai điểm vừa xác định. Đường thẳng này chính là đường cát tuyến của đường tròn, nó cắt và chia đường tròn này thành hai cung.

Vẽ đường cát tuyến của đường tròn và đường cong
Vẽ đường cát tuyến của đường tròn và đường cong

Bài tập về cát tuyến

Sau khi đã nắm được các kiến thức về đường cát tuyến thì chúng ta hãy cùng tìm hiểu một số bài tập về đường cát tuyến để kiến thức thêm vững chắc hơn nhé.

Bài tập ví dụ: Cho điểm M nằm ở ngoài đường tròn (O). Hãy vẽ cát tuyến MCD của đường tròn không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến là MA, MB tới đường tròn (O). Trong đó, điểm A và B là hai tiếp điểm ở trên đường tròn, và C nằm ở giữa M và D.

Hình vẽ từ giả thiết đã cho của bài tập
Hình vẽ từ giả thiết đã cho của bài tập

a) Chứng minh rằng: MA.MA = MC.MD.

b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD. Chứng minh rằng những điểm M, A, O, I, B đều cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của hai đoạn thẳng AB và MO. Chứng minh rằng tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn và đoạn AB là đoạn phân giác của góc CHD.

d) Gọi K là điểm giao của hai đường tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh rằng các điểm A, B, K cùng nằm trên cùng một đường thẳng.

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có MA là tiếp tuyến đường tròn (O).

Do đó, ta có góc MAC = góc MDA => ΔMAC ~ ΔMDA

=> Theo tính chất tam giác đồng dạng thì MA/MD = MC/MA => MA2 = MC.MD ⇔  MA.MA = MC.MD (đpcm)

b) Theo giả thiết ta có I là trung điểm của đoạn thẳng CD

=> Góc MIO = 90 độ = góc MAO =  góc MBO

=> 4 điểm M, A, O, I, B sẽ đều nằm trên đường tròn có đường kính là MO.

c) A và B là tiếp điểm của đường tròn, O là tâm đường tròn nên ta có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H

Từ đó, ta có  MH.MO = MA2 = MC. MD

=> MA/MD = MC/MA => ΔMHC ~ ΔMDC

=> góc MHC = góc MDO

=> Tứ giác HCDO là tứ giác nội tiếp đường tròn

=> Góc OCD = góc OHD = góc ODC = góc MHC

=> 900 – góc MHC = 900 – góc OHD => góc CHB = góc BHD

=> HB là tia phân giác của góc CHD.

d) Ta có đoạn thẳng KC và KD là hai đường tiếp tuyến cắt nhau ở điểm K của đường tròn (O)

Từ đó, ta suy ra tứ giác KCOD là tứ giác nội tiếp đường tròn. Hay 4 điểm K, C, O, D đều thuộc đường tròn).
Mặt khác, tứ giác HODC lại nội tiếp đường tròn (chứng minh phía trên). Hay có thể nói 4 điểm H, O, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

=> 5 điểm K, C, H, O, D đều cùng nằm trên một đường tròn.

Với HK là đoạn phân giác của góc CHD vì KC = KD, ta có 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Trên đây là những thông tin tổng hợp về cát tuyến. Đây là một kiến thức rất quan trọng trong hình học để bạn qua đó có thể tính toán nhiều bài tập liên quan. Do đó mà hãy nắm chắc những kiến thức về đường cát tuyến nhé. Hy vọng những chia sẻ trên đây có thể giúp bạn hiểu hơn về cát tuyến.

lieu88

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Read also x